Theorem dfiunv2 3714

Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfiunv2	|- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Distinct variable groups:   x, z   y, z   z, A   z, B   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3680	. . . 4 |- U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C } )
3	2	iuneq2i 3696	. 2 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C }
4		df-iun 3680	. 2 |- U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C } = { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } }
5		vex 2604	. . . . 5 |- z e. _V
6		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( w e. C <-> z e. C ) )
7	6	rexbidv 2369	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. y e. B w e. C <-> E. y e. B z e. C ) )
8	5, 7	elab 2738	. . . 4 |- ( z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. y e. B z e. C )
9	8	rexbii 2373	. . 3 |- ( E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
10	9	abbii 2194	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } } = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }
11	3, 4, 10	3eqtri 2105	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   U_ciun 3678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-iun 3680

This theorem is referenced by: (None)