Theorem dfrn2 4541

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4374	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4373	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4536	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1536	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2194	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2105	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1284   E.wex 1421   {cab 2067   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   dom cdm 4363   ran crn 4364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374

This theorem is referenced by:  dfrn3  4542  dfdm4  4545  dm0rn0  4570  dmmrnm  4572  dfrnf  4593  dfima2  4690  funcnv3  4981