Theorem genpdflem 6697

Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 6698. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genpdflem.r	|- ( ( ph /\ r e. A ) -> r e. Q. )
genpdflem.s	|- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
genpdflem	|- ( ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) } )

Distinct variable groups:   A, s   ph, q, r, s

Allowed substitution hints:   A( r, q)   B( s, r, q)   G( s, r, q)

Proof of Theorem genpdflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genpdflem.r	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. A ) -> r e. Q. )
2	1	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( r e. A -> r e. Q. ) )
3	2	pm4.71rd 386	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( r e. A <-> ( r e. Q. /\ r e. A ) ) )
4	3	anbi1d 452	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
5	4	exbidv 1746	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
6		3anass 923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
7	6	rexbii 2373	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
8		r19.42v 2511	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
9	7, 8	bitri 182	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
10	9	rexbii 2373	. . . . . . 7 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
11		df-rex 2354	. . . . . . 7 |- ( E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
12	10, 11	bitri 182	. . . . . 6 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
13		anass 393	. . . . . . 7 |- ( ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
14	13	exbii 1536	. . . . . 6 |- ( E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
15	12, 14	bitr4i 185	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
16	5, 15	syl6rbbr 197	. . . 4 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
17		df-rex 2354	. . . 4 |- ( E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
18	16, 17	syl6bbr 196	. . 3 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
19		genpdflem.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. Q. )
20	19	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. B -> s e. Q. ) )
21	20	pm4.71rd 386	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. B <-> ( s e. Q. /\ s e. B ) ) )
22	21	anbi1d 452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) ) )
23	22	exbidv 1746	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) ) )
24		df-rex 2354	. . . . . . 7 |- ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
25		anass 393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) <-> ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
26	25	exbii 1536	. . . . . . 7 |- ( E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
27	24, 26	bitr4i 185	. . . . . 6 |- ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) )
28	23, 27	syl6rbbr 197	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
29		df-rex 2354	. . . . 5 |- ( E. s e. B q = ( r G s ) <-> E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) )
30	28, 29	syl6bbr 196	. . . 4 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s e. B q = ( r G s ) ) )
31	30	rexbidv 2369	. . 3 |- ( ph -> ( E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) ) )
32	18, 31	bitrd 186	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) ) )
33	32	rabbidv 2593	1 |- ( ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E.wrex 2349   {crab 2352  (class class class)co 5532   Q.cnq 6470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357

This theorem is referenced by:  genpdf  6698