Theorem iinab 3739

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	|- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2219	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2221	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiinxy 3705	. . 3 |- F/_ y |^|_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2221	. . 3 |- F/_ y { y | A. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2242	. 2 |- ( |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph } <-> A. y ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } ) )
6		abid 2069	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	ralbii 2372	. . 3 |- ( A. x e. A y e. { y | ph } <-> A. x e. A ph )
8		vex 2604	. . . 4 |- y e. _V
9		eliin 3683	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } )
11		abid 2069	. . 3 |- ( y e. { y | A. x e. A ph } <-> A. x e. A ph )
12	7, 10, 11	3bitr4i 210	. 2 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } )
13	5, 12	mpgbir 1382	1 |- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   _Vcvv 2601   |^|_ciin 3679

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-iin 3681

This theorem is referenced by:  iinrabm  3740