Theorem modc 1984

Description: Equivalent definitions of "there exists at most one," given decidable existence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modc.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
modc	|- (DECID E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem modc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modc.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	mo23 1982	. 2 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
3		exmiddc 777	. . 3 |- (DECID E. x ph -> ( E. x ph \/ -. E. x ph ) )
4	1	mor 1983	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
5	1	mo2n 1969	. . . . 5 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
6	5	a1d 22	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
7	4, 6	jaoi 668	. . 3 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- (DECID E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
9	2, 8	impbid2 141	1 |- (DECID E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   A.wal 1282   F/wnf 1389   E.wex 1421   [wsb 1685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686

This theorem is referenced by:  mo2dc  1996