Theorem mosubt 2769

Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mosubt	|- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2763	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E! y y = A )
2		isset 2605	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E. y y = A )
3	1, 2	bitr3i 184	. . . . 5 |- ( E! y y = A <-> E. y y = A )
4		nfv 1461	. . . . . 6 |- F/ x y = A
5	4	euexex 2026	. . . . 5 |- ( ( E! y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
6	3, 5	sylanbr 279	. . . 4 |- ( ( E. y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
7	6	expcom 114	. . 3 |- ( A. y E* x ph -> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
8		moanimv 2016	. . 3 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) <-> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylibr 132	. 2 |- ( A. y E* x ph -> E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
10		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( y = A /\ ph ) -> y = A )
11	10	eximi 1531	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> E. y y = A )
12	11	ancri 317	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
13	12	moimi 2006	. 2 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
14	9, 13	syl 14	1 |- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   E*wmo 1942   _Vcvv 2601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-v 2603

This theorem is referenced by:  mosub  2770