Theorem r3al 2408

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, A, z   z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x, y)   C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
2		r2al 2385	. . 3 |- ( A. y e. B A. z e. C ph <-> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
3	2	ralbii 2372	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
4		3anass 923	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) )
5	4	imbi1i 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) )
6		impexp 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1399	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
9		19.21v 1794	. . . . . 6 |- ( A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
10	8, 9	bitri 182	. . . . 5 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
11	10	albii 1399	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
12		19.21v 1794	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
13	11, 12	bitri 182	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
14	13	albii 1399	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
15	1, 3, 14	3bitr4i 210	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   A.wal 1282   e. wcel 1433   A.wral 2348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353

This theorem is referenced by:  pocl  4058  soss  4069