Theorem ralm 3345

Description: Inhabited classes and restricted quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ralm	|- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Proof of Theorem ralm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2353	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
2	1	imbi2i 224	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
3		19.38 1606	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
4	2, 3	sylbi 119	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
5		pm2.43 52	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x e. A -> ph ) )
6	5	alimi 1384	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
7	4, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
8	7, 1	sylibr 132	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x e. A ph )
9		ax-1 5	. 2 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
10	8, 9	impbii 124	1 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-4 1440  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-ral 2353

This theorem is referenced by:  raaan  3347