Theorem reliun 4476

Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reliun	|- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Proof of Theorem reliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3680	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	releqi 4441	. 2 |- ( Rel U_ x e. A B <-> Rel { y | E. x e. A y e. B } )
3		df-rel 4370	. 2 |- ( Rel { y | E. x e. A y e. B } <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) )
4		abss 3063	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
5		df-rel 4370	. . . . . 6 |- ( Rel B <-> B C_ ( _V X. _V ) )
6		dfss2 2988	. . . . . 6 |- ( B C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
7	5, 6	bitri 182	. . . . 5 |- ( Rel B <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
8	7	ralbii 2372	. . . 4 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
9		ralcom4 2621	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
10		r19.23v 2469	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
11	10	albii 1399	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
12	8, 9, 11	3bitri 204	. . 3 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
13	4, 12	bitr4i 185	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. A Rel B )
14	2, 3, 13	3bitri 204	1 |- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   U_ciun 3678   X. cxp 4361   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-iun 3680  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  reluni  4478  eliunxp  4493  opeliunxp2  4494  dfco2  4840  coiun  4850