Theorem reuind 2795

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
reuind.2	|- ( x = y -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
reuind	|- ( ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) /\ E. x ( A e. C /\ ph ) ) -> E! z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   x, z, B   x, y, C, z   ph, y, z   ps, x, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> A = B )
2	1	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A e. C <-> B e. C ) )
3		reuind.1	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	2, 3	anbi12d 456	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A e. C /\ ph ) <-> ( B e. C /\ ps ) ) )
5	4	cbvexv 1836	. . . . 5 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) <-> E. y ( B e. C /\ ps ) )
6		r19.41v 2510	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C ( z = B /\ ps ) <-> ( E. z e. C z = B /\ ps ) )
7	6	exbii 1536	. . . . . 6 |- ( E. y E. z e. C ( z = B /\ ps ) <-> E. y ( E. z e. C z = B /\ ps ) )
8		rexcom4 2622	. . . . . 6 |- ( E. z e. C E. y ( z = B /\ ps ) <-> E. y E. z e. C ( z = B /\ ps ) )
9		risset 2394	. . . . . . . 8 |- ( B e. C <-> E. z e. C z = B )
10	9	anbi1i 445	. . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ ps ) <-> ( E. z e. C z = B /\ ps ) )
11	10	exbii 1536	. . . . . 6 |- ( E. y ( B e. C /\ ps ) <-> E. y ( E. z e. C z = B /\ ps ) )
12	7, 8, 11	3bitr4ri 211	. . . . 5 |- ( E. y ( B e. C /\ ps ) <-> E. z e. C E. y ( z = B /\ ps ) )
13	5, 12	bitri 182	. . . 4 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) <-> E. z e. C E. y ( z = B /\ ps ) )
14		eqeq2 2090	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( z = A <-> z = B ) )
15	14	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = A <-> z = B ) ) )
16		bi2 128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = A <-> z = B ) -> ( z = B -> z = A ) )
17	16	imim2i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = A <-> z = B ) ) -> ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = B -> z = A ) ) )
18		an31 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ z = B ) <-> ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) )
19	18	imbi1i 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ z = B ) -> z = A ) <-> ( ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) -> z = A ) )
20		impexp 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ z = B ) -> z = A ) <-> ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = B -> z = A ) ) )
21		impexp 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) -> z = A ) <-> ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr3i 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = B -> z = A ) ) <-> ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
23	17, 22	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( z = A <-> z = B ) ) -> ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
24	15, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
25	24	2alimi 1385	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> A. x A. y ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
26		19.23v 1804	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> ( E. y ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
27		an12 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) <-> ( B e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) )
28		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = B -> ( z e. C <-> B e. C ) )
29	28	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = B /\ ps ) -> ( z e. C <-> B e. C ) )
30	29	pm5.32ri 442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) <-> ( B e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) )
31	27, 30	bitr4i 185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) <-> ( z e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) )
32	31	exbii 1536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) <-> E. y ( z e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) )
33		19.42v 1827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( z e. C /\ ( z = B /\ ps ) ) <-> ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) )
34	32, 33	bitri 182	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) <-> ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) )
35	34	imbi1i 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. y ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
36	26, 35	bitri 182	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
37	36	albii 1399	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> A. x ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
38		19.21v 1794	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
39	37, 38	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( z = B /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) <-> ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
40	25, 39	sylib 120	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( ( z e. C /\ E. y ( z = B /\ ps ) ) -> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
41	40	expd 254	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( z e. C -> ( E. y ( z = B /\ ps ) -> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) ) )
42	41	reximdvai 2461	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( E. z e. C E. y ( z = B /\ ps ) -> E. z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
43	13, 42	syl5bi 150	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) -> ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> E. z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) ) )
44	43	imp 122	. 2 |- ( ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) /\ E. x ( A e. C /\ ph ) ) -> E. z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) )
45		pm4.24 387	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. C /\ ph ) <-> ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) )
46	45	biimpi 118	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. C /\ ph ) -> ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) )
47		prth 336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( A e. C /\ ph ) ) -> ( z = A /\ w = A ) ) )
48		eqtr3 2100	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = A ) -> z = w )
49	46, 47, 48	syl56 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> ( ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) )
50	49	alanimi 1388	. . . . . 6 |- ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) )
51		19.23v 1804	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) <-> ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) )
52	51	biimpi 118	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) -> ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) )
53	52	com12 30	. . . . . 6 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = w ) -> z = w ) )
54	50, 53	syl5 32	. . . . 5 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> z = w ) )
55	54	a1d 22	. . . 4 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> ( ( z e. C /\ w e. C ) -> ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> z = w ) ) )
56	55	ralrimivv 2442	. . 3 |- ( E. x ( A e. C /\ ph ) -> A. z e. C A. w e. C ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> z = w ) )
57	56	adantl 271	. 2 |- ( ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) /\ E. x ( A e. C /\ ph ) ) -> A. z e. C A. w e. C ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> z = w ) )
58		eqeq1 2087	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z = A <-> w = A ) )
59	58	imbi2d 228	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) <-> ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) )
60	59	albidv 1745	. . 3 |- ( z = w -> ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) <-> A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) )
61	60	reu4 2786	. 2 |- ( E! z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) <-> ( E. z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. z e. C A. w e. C ( ( A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) /\ A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> w = A ) ) -> z = w ) ) )
62	44, 57, 61	sylanbrc 408	1 |- ( ( A. x A. y ( ( ( A e. C /\ ph ) /\ ( B e. C /\ ps ) ) -> A = B ) /\ E. x ( A e. C /\ ph ) ) -> E! z e. C A. x ( ( A e. C /\ ph ) -> z = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   E!wreu 2350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-v 2603

This theorem is referenced by: (None)