Theorem sscoll2 10783

Description: Version of ax-sscoll 10782 with two DV conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sscoll2	|- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, y, z   ph, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1461	. . 3 |- F/ c ( u = a /\ v = b )
2		nfv 1461	. . . 4 |- F/ z ( u = a /\ v = b )
3		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> u = a )
4		rexeq 2550	. . . . . . 7 |- ( v = b -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
5	4	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
6	3, 5	raleqbidv 2561	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. v ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
7		nfv 1461	. . . . . 6 |- F/ d ( u = a /\ v = b )
8		nfv 1461	. . . . . . 7 |- F/ y ( u = a /\ v = b )
9		rexeq 2550	. . . . . . . . 9 |- ( u = a -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
10	9	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
11	10	bibi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
12	8, 11	albid 1546	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
13	7, 12	rexbid 2367	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
14	6, 13	imbi12d 232	. . . 4 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
15	2, 14	albid 1546	. . 3 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
16	1, 15	exbid 1547	. 2 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
17		ax-sscoll 10782	. . . 4 |- A. u A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
18	17	spi 1469	. . 3 |- A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
19	18	spi 1469	. 2 |- E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
20	16, 19	ch2varv 10579	1 |- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   A.wral 2348   E.wrex 2349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sscoll 10782

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354

This theorem is referenced by: (None)