Theorem strcoll2 10778

Description: Version of ax-strcoll 10777 with one DV condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2549	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		rexeq 2550	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
3	2	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( z = a -> ( ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
4	3	albidv 1745	. . . 4 |- ( z = a -> ( A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
5	4	exbidv 1746	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
6	1, 5	imbi12d 232	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) ) )
7		ax-strcoll 10777	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) )
8	7	spi 1469	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) )
9	6, 8	chvarv 1853	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   A.wral 2348   E.wrex 2349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-strcoll 10777

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354

This theorem is referenced by:  strcollnft  10779  strcollnfALT  10781