Theorem bm1.1 2066

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) → ∃!𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1461	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑧
2		bm1.1.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3	1, 2	nfbi 1521	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)
4	3	nfal 1508	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)
5		elequ2 1641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
6	5	bibi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)))
7	6	albidv 1745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)))
8	4, 7	sbie 1714	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑))
9		19.26 1410	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)))
10		biantr 893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
11	10	alimi 1384	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
12		ax-ext 2063	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)
14	9, 13	sylbir 133	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)
15	8, 14	sylan2b 281	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)
16	15	gen2 1379	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑧((∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)
17	16	jctr 308	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) → (∃𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ ∀𝑥∀𝑧((∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)))
18		nfv 1461	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑)
19	18	eu2 1985	. 2 ⊢ (∃!𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ↔ (∃𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ ∀𝑥∀𝑧((∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑)) → 𝑥 = 𝑧)))
20	17, 19	sylibr 132	1 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑) → ∃!𝑥∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∀wal 1282  Ⅎwnf 1389  ∃wex 1421  [wsb 1685  ∃!weu 1941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944

This theorem is referenced by:  zfnuleu  3902