Theorem mnfnre 7161

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7097	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
2		2pwuninelg 5921	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
4		df-mnf 7156	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
5		df-pnf 7155	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	pweqi 3386	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
7	4, 6	eqtri 2101	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
8	7	eleq1i 2144	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
9	3, 8	mtbir 628	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
10		recn 7106	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
11	9, 10	mto 620	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
12	11	nelir 2342	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1433   ∉ wnel 2339  Vcvv 2601  𝒫 cpw 3382  ∪ cuni 3601  ℂcc 6979  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150  -∞cmnf 7151

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-nel 2340  df-ral 2353  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-mnf 7156

This theorem is referenced by:  renemnf  7167  xrltnr  8855  nltmnf  8863