Theorem nnaddcld 8086

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnaddcl 8059	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532   + caddc 6984  ℕcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-addass 7078

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-inn 8040

This theorem is referenced by: (None)