Theorem ral0 3342

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3255	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 607	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2416	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∅c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  0iin  3736  po0  4066  so0  4081  we0  4116  ord0  4146  mpt0  5046  ac6sfi  6379  uzsinds  9428  rexfiuz  9875  fimaxre2  10109  2prm  10509  bj-nntrans  10746