Theorem renepnf 7166

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7160	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2341	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2141	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 632	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2299	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-un 4188  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-uni 3602  df-pnf 7155

This theorem is referenced by:  renepnfd  7169  renfdisj  7172  ltxrlt  7178  xrnepnf  8854  xrlttri3  8872  nltpnft  8884  xrrebnd  8886  rexneg  8897