Theorem alxfr 4878

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by NM, 18-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
alxfr.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
alxfr	|- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( y)   B( x, y)

Proof of Theorem alxfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alxfr.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	spcgv 3293	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A. x ph -> ps ) )
3	2	com12 32	. . . . 5 |- ( A. x ph -> ( A e. B -> ps ) )
4	3	alimdv 1845	. . . 4 |- ( A. x ph -> ( A. y A e. B -> A. y ps ) )
5	4	com12 32	. . 3 |- ( A. y A e. B -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
7		nfa1 2028	. . . . . 6 |- F/ y A. y ps
8		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y ph
9		sp 2053	. . . . . . 7 |- ( A. y ps -> ps )
10	9, 1	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( A. y ps -> ( x = A -> ph ) )
11	7, 8, 10	exlimd 2087	. . . . 5 |- ( A. y ps -> ( E. y x = A -> ph ) )
12	11	alimdv 1845	. . . 4 |- ( A. y ps -> ( A. x E. y x = A -> A. x ph ) )
13	12	com12 32	. . 3 |- ( A. x E. y x = A -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
14	13	adantl 482	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
15	6, 14	impbid 202	1 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202

This theorem is referenced by: (None)