Theorem axacndlem2 9430

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axacndlem2	|- ( A. x x = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Proof of Theorem axacndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfae 2316	. . 3 |- F/ y A. x x = z
2		nfae 2316	. . . 4 |- F/ z A. x x = z
3		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. w ) -> z e. w )
4	3	alimi 1739	. . . . 5 |- ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> A. x z e. w )
5		nd1 9409	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> -. A. x z e. w )
6	5	pm2.21d 118	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. x z e. w -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
7	4, 6	syl5 34	. . . 4 |- ( A. x x = z -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
8	2, 7	alrimi 2082	. . 3 |- ( A. x x = z -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
9	1, 8	alrimi 2082	. 2 |- ( A. x x = z -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
10		19.8a 2052	. 2 |- ( A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
11	9, 10	syl 17	1 |- ( A. x x = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  axacndlem4  9432  axacnd  9434