Theorem axnulALT 4787

Description: Alternate proof of axnul 4788, proved from propositional calculus, ax-gen 1722, ax-4 1737, sp 2053, and ax-rep 4771. To check this, replace sp 2053 with the obsolete axiom ax-c5 34168 in the proof of axnulALT 4787 and type the Metamath command 'SHOW TRACE_BACK axnulALT / AXIOMS'. (Contributed by Jeff Hoffman, 3-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axnulALT	|- E. x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem axnulALT

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rep 4771	. . 3 |- ( A. w E. x A. y ( A. x F. -> y = x ) -> E. x A. y ( y e. x <-> E. w ( w e. z /\ A. x F. ) ) )
2		sp 2053	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. y ( A. x F. -> y = x ) -> -. A. y ( A. x F. -> y = x ) )
3	2	con2i 134	. . . . 5 |- ( A. y ( A. x F. -> y = x ) -> -. A. x -. A. y ( A. x F. -> y = x ) )
4		df-ex 1705	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( A. x F. -> y = x ) <-> -. A. x -. A. y ( A. x F. -> y = x ) )
5	3, 4	sylibr 224	. . . 4 |- ( A. y ( A. x F. -> y = x ) -> E. x A. y ( A. x F. -> y = x ) )
6		fal 1490	. . . . . 6 |- -. F.
7		sp 2053	. . . . . 6 |- ( A. x F. -> F. )
8	6, 7	mto 188	. . . . 5 |- -. A. x F.
9	8	pm2.21i 116	. . . 4 |- ( A. x F. -> y = x )
10	5, 9	mpg 1724	. . 3 |- E. x A. y ( A. x F. -> y = x )
11	1, 10	mpg 1724	. 2 |- E. x A. y ( y e. x <-> E. w ( w e. z /\ A. x F. ) )
12	8	intnan 960	. . . . . 6 |- -. ( w e. z /\ A. x F. )
13	12	nex 1731	. . . . 5 |- -. E. w ( w e. z /\ A. x F. )
14	13	nbn 362	. . . 4 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> E. w ( w e. z /\ A. x F. ) ) )
15	14	albii 1747	. . 3 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> E. w ( w e. z /\ A. x F. ) ) )
16	15	exbii 1774	. 2 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> E. w ( w e. z /\ A. x F. ) ) )
17	11, 16	mpbir 221	1 |- E. x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F. wfal 1488   E.wex 1704   e. wcel 1990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-12 2047  ax-rep 4771

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705

This theorem is referenced by: (None)