Theorem bj-hbext 32701

Description: Closed form of hbex 2156. (Contributed by BJ, 10-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-hbext	|- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( E. y ph -> A. x E. y ph ) )

Proof of Theorem bj-hbext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa2 2040	. . . 4 |- F/ x A. y A. x ( ph -> A. x ph )
2		hbnt 2144	. . . . . 6 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( -. ph -> A. x -. ph ) )
3	2	alimi 1739	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. y ( -. ph -> A. x -. ph ) )
4		bj-hbalt 32671	. . . . 5 |- ( A. y ( -. ph -> A. x -. ph ) -> ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) )
6	1, 5	alrimi 2082	. . 3 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) )
7		hbnt 2144	. . 3 |- ( A. x ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) -> ( -. A. y -. ph -> A. x -. A. y -. ph ) )
8	6, 7	syl 17	. 2 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( -. A. y -. ph -> A. x -. A. y -. ph ) )
9		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. y ph <-> -. A. y -. ph )
10	9	bicomi 214	. 2 |- ( -. A. y -. ph <-> E. y ph )
11	10	albii 1747	. 2 |- ( A. x -. A. y -. ph <-> A. x E. y ph )
12	8, 10, 11	3imtr3g 284	1 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( E. y ph -> A. x E. y ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by:  bj-nfext  32703