Theorem bj-sngltag 32971

Description: The singletonization and the tagging of a set contain the same singletons. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sngltag	|- ( A e. V -> ( { A } e. sngl B <-> { A } e. tag B ) )

Proof of Theorem bj-sngltag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-sngltagi 32970	. 2 |- ( { A } e. sngl B -> { A } e. tag B )
2		df-bj-tag 32963	. . . 4 |- tag B = (sngl B u. { (/) } )
3	2	eleq2i 2693	. . 3 |- ( { A } e. tag B <-> { A } e. (sngl B u. { (/) } ) )
4		elun 3753	. . . 4 |- ( { A } e. (sngl B u. { (/) } ) <-> ( { A } e. sngl B \/ { A } e. { (/) } ) )
5		idd 24	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( { A } e. sngl B -> { A } e. sngl B ) )
6		elsni 4194	. . . . . 6 |- ( { A } e. { (/) } -> { A } = (/) )
7		snprc 4253	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
8		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> A e. _V )
9	8	pm2.24d 147	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( -. A e. _V -> { A } e. sngl B ) )
10	7, 9	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( { A } = (/) -> { A } e. sngl B ) )
11	6, 10	syl5 34	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( { A } e. { (/) } -> { A } e. sngl B ) )
12	5, 11	jaod 395	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( { A } e. sngl B \/ { A } e. { (/) } ) -> { A } e. sngl B ) )
13	4, 12	syl5bi 232	. . 3 |- ( A e. V -> ( { A } e. (sngl B u. { (/) } ) -> { A } e. sngl B ) )
14	3, 13	syl5bi 232	. 2 |- ( A e. V -> ( { A } e. tag B -> { A } e. sngl B ) )
15	1, 14	impbid2 216	1 |- ( A e. V -> ( { A } e. sngl B <-> { A } e. tag B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177  sngl bj-csngl 32953  tag bj-ctag 32962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-bj-tag 32963

This theorem is referenced by:  bj-tagcg  32973  bj-taginv  32974