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Theorem bnj1174 31071
Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1174.3 |- C = ( trCl ( X , A , R ) i^i B )
bnj1174.59 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
bnj1174.74 |- ( th -> ( w R z -> w e. trCl ( X , A , R ) ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1174 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
Proof of Theorem bnj1174
StepHypRef Expression
1 bnj1174.59 . . . . 5 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
2 bnj1174.74 . . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( w R z -> w e. trCl ( X , A , R ) ) )
3 bnj1174.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( trCl ( X , A , R ) i^i B )
43eleq2i 2693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C <-> w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) )
54notbii 310 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. w e. C <-> -. w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) )
6 ianor 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( w e. trCl ( X , A , R ) /\ w e. B ) <-> ( -. w e. trCl ( X , A , R ) \/ -. w e. B ) )
7 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) <-> ( w e. trCl ( X , A , R ) /\ w e. B ) )
87notbii 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) <-> -. ( w e. trCl ( X , A , R ) /\ w e. B ) )
9 pm4.62 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. trCl ( X , A , R ) -> -. w e. B ) <-> ( -. w e. trCl ( X , A , R ) \/ -. w e. B ) )
106, 8, 93bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) <-> ( w e. trCl ( X , A , R ) -> -. w e. B ) )
1110biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) -> ( w e. trCl ( X , A , R ) -> -. w e. B ) )
1211impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. trCl ( X , A , R ) /\ -. w e. ( trCl ( X , A , R ) i^i B ) ) -> -. w e. B )
135, 12sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. trCl ( X , A , R ) /\ -. w e. C ) -> -. w e. B )
1413ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. trCl ( X , A , R ) -> ( -. w e. C -> -. w e. B ) )
152, 14syl6 35 . . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( w R z -> ( -. w e. C -> -. w e. B ) ) )
1615a2d 29 . . . . . . . . . 10 |- ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) )
1716biantru 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) <-> ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
18 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
19 3anass 1042 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) )
2017, 18, 193bitr2i 288 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) <-> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) )
2120imbi2i 326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) ) )
2221albii 1747 . . . . . 6 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) ) <-> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) ) )
2322exbii 1774 . . . . 5 |- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) ) <-> E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) ) )
241, 23mpbi 220 . . . 4 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) )
25 imdi 378 . . . . . . . 8 |- ( ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) <-> ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) -> ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
26 pm3.35 611 . . . . . . . 8 |- ( ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) -> ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) )
2725, 26sylan2b 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) )
2827anim2i 593 . . . . . 6 |- ( ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
2928imim2i 16 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3029alimi 1739 . . . 4 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) /\ ( th -> ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) ) -> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3124, 30bnj101 30789 . . 3 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
32 ancl 569 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps ) /\ ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) )
33 bnj256 30772 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) /\ ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3432, 33syl6ibr 242 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3534alimi 1739 . . 3 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3631, 35bnj101 30789 . 2 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
37 df-bnj17 30753 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
3837imbi2i 326 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
3938albii 1747 . . 3 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
4039exbii 1774 . 2 |- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ ps /\ z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
4136, 40mpbi 220 1 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   /\ w-bnj17 30752   trClc-bnj18 30760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-in 3581  df-bnj17 30753
This theorem is referenced by:  bnj1190  31076
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