Theorem e2ebindALT 39165

Description: Absorption of an existential quantifier of a double existential quantifier of non-distinct variables. The proof is derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in e2ebindVD 39148. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
e2ebindALT	|- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )

Proof of Theorem e2ebindALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axc11n 2307	. 2 |- ( A. x x = y -> A. y y = x )
2		nfe1 2027	. . . 4 |- F/ y E. y ph
3	2	19.9 2072	. . 3 |- ( E. y E. y ph <-> E. y ph )
4		excom 2042	. . . 4 |- ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph )
5		nfa1 2028	. . . . . 6 |- F/ y A. y y = x
6		id 22	. . . . . . 7 |- ( A. y y = x -> A. y y = x )
7		biid 251	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> ph )
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = x -> ( ph <-> ph ) )
9	8	drex1 2327	. . . . . . 7 |- ( A. y y = x -> ( E. y ph <-> E. x ph ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. y y = x -> ( E. y ph <-> E. x ph ) )
11	5, 10	alrimi 2082	. . . . 5 |- ( A. y y = x -> A. y ( E. y ph <-> E. x ph ) )
12		exbi 1773	. . . . 5 |- ( A. y ( E. y ph <-> E. x ph ) -> ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( A. y y = x -> ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) )
14		bitr 745	. . . . . 6 |- ( ( ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) /\ ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph ) ) -> ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) )
15	14	ex 450	. . . . 5 |- ( ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) -> ( ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph ) -> ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) ) )
16	15	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph ) /\ ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) ) -> ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) )
17	4, 13, 16	sylancr 695	. . 3 |- ( A. y y = x -> ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) )
18		bitr3 342	. . . 4 |- ( ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) -> ( ( E. y E. y ph <-> E. y ph ) -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) ) )
19	18	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( E. y E. y ph <-> E. y ph ) /\ ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) ) -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )
20	3, 17, 19	sylancr 695	. 2 |- ( A. y y = x -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )
21	1, 20	syl 17	1 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)