Theorem e2ebindVD 39148

Description: The following User's Proof is a Virtual Deduction proof (see wvd1 38785) completed automatically by a Metamath tools program invoking mmj2 and the Metamath Proof Assistant. e2ebind 38779 is e2ebindVD 39148 without virtual deductions and was automatically derived from e2ebindVD 39148.

1::	|- ( ph <-> ph )
2:1:	|- ( A. y y = x -> ( ph <-> ph ) )
3:2:	|- ( A. y y = x -> ( E. y ph <-> E. x ph ) )
4::	|- (. A. y y = x ->. A. y y = x ).
5:3,4:	|- (. A. y y = x ->. ( E. y ph <-> E. x ph ) ).
6::	|- ( A. y y = x -> A. y A. y y = x )
7:5,6:	|- (. A. y y = x ->. A. y ( E. y ph <-> E. x ph ) ).
8:7:	|- (. A. y y = x ->. ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) ).
9::	|- ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph )
10:8,9:	|- (. A. y y = x ->. ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) ).
11::	|- ( E. y ph -> A. y E. y ph )
12:11:	|- ( E. y E. y ph <-> E. y ph )
13:10,12:	|- (. A. y y = x ->. ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) ).
14:13:	|- ( A. y y = x -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )
15::	|- ( A. y y = x <-> A. x x = y )
qed:14,15:	|- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )

(Contributed by Alan Sare, 27-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
e2ebindVD	|- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )

Proof of Theorem e2ebindVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axc11n 2307	. 2 |- ( A. x x = y -> A. y y = x )
2		hba1 2151	. . . . . . 7 |- ( A. y y = x -> A. y A. y y = x )
3		idn1 38790	. . . . . . . 8 |- (. A. y y = x ->. A. y y = x ).
4		biid 251	. . . . . . . . . 10 |- ( ph <-> ph )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( A. y y = x -> ( ph <-> ph ) )
6	5	drex1 2327	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = x -> ( E. y ph <-> E. x ph ) )
7	3, 6	e1a 38852	. . . . . . 7 |- (. A. y y = x ->. ( E. y ph <-> E. x ph ) ).
8	2, 7	gen11nv 38842	. . . . . 6 |- (. A. y y = x ->. A. y ( E. y ph <-> E. x ph ) ).
9		exbi 1773	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. y ph <-> E. x ph ) -> ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) )
10	8, 9	e1a 38852	. . . . 5 |- (. A. y y = x ->. ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) ).
11		excom 2042	. . . . 5 |- ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph )
12		bibi1 341	. . . . . 6 |- ( ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) -> ( ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) <-> ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph ) ) )
13	12	biimprd 238	. . . . 5 |- ( ( E. y E. y ph <-> E. y E. x ph ) -> ( ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph ) -> ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) ) )
14	10, 11, 13	e10 38919	. . . 4 |- (. A. y y = x ->. ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) ).
15		nfe1 2027	. . . . 5 |- F/ y E. y ph
16	15	19.9 2072	. . . 4 |- ( E. y E. y ph <-> E. y ph )
17		bitr3 342	. . . 4 |- ( ( E. y E. y ph <-> E. x E. y ph ) -> ( ( E. y E. y ph <-> E. y ph ) -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) ) )
18	14, 16, 17	e10 38919	. . 3 |- (. A. y y = x ->. ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) ).
19	18	in1 38787	. 2 |- ( A. y y = x -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )
20	1, 19	syl 17	1 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ph <-> E. y ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ex 1705  df-nf 1710  df-vd1 38786

This theorem is referenced by: (None)