Theorem eujustALT 2473

Description: Alternate proof of eujust 2472 illustrating the use of dvelim 2337. (Contributed by NM, 11-Mar-2010.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eujustALT	|- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) )

Distinct variable groups:   x, y   x, z   ph, y   ph, z

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem eujustALT

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equequ2 1953	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x = y <-> x = z ) )
2	1	bibi2d 332	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( ph <-> x = y ) <-> ( ph <-> x = z ) ) )
3	2	albidv 1849	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
4	3	sps 2055	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
5	4	drex1 2327	. 2 |- ( A. y y = z -> ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) ) )
6		hbnae 2317	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> A. y -. A. y y = z )
7		hbnae 2317	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> A. z -. A. y y = z )
8	6, 7	alrimih 1751	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> A. y A. z -. A. y y = z )
9		ax-5 1839	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x ( ph <-> x = w ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = w ) )
10		equequ2 1953	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
11	10	bibi2d 332	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( ( ph <-> x = w ) <-> ( ph <-> x = y ) ) )
12	11	albidv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( A. x ( ph <-> x = w ) <-> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
13	12	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( -. A. x ( ph <-> x = w ) <-> -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
14	9, 13	dvelim 2337	. . . . . . 7 |- ( -. A. z z = y -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
15	14	naecoms 2313	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
16		ax-5 1839	. . . . . . 7 |- ( -. A. x ( ph <-> x = w ) -> A. y -. A. x ( ph <-> x = w ) )
17		equequ2 1953	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( x = w <-> x = z ) )
18	17	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( ph <-> x = w ) <-> ( ph <-> x = z ) ) )
19	18	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( A. x ( ph <-> x = w ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
20	19	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = w ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
21	16, 20	dvelim 2337	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = z ) -> A. y -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
22	3	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) ) )
24	15, 21, 23	cbv2h 2269	. . . . 5 |- ( A. y A. z -. A. y y = z -> ( A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
25	8, 24	syl 17	. . . 4 |- ( -. A. y y = z -> ( A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
26	25	notbid 308	. . 3 |- ( -. A. y y = z -> ( -. A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
27		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) )
28		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. z A. x ( ph <-> x = z ) <-> -. A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) )
29	26, 27, 28	3bitr4g 303	. 2 |- ( -. A. y y = z -> ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) ) )
30	5, 29	pm2.61i 176	1 |- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)