Theorem ex-un 27281

Description: Example for df-un 3579. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-un	|- ( { 1 , 3 } u. { 1 , 8 } ) = { 1 , 3 , 8 }

Proof of Theorem ex-un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3770	. . 3 |- ( ( { 1 , 3 } u. { 1 } ) u. { 8 } ) = ( { 1 , 3 } u. ( { 1 } u. { 8 } ) )
2		snsspr1 4345	. . . . 5 |- { 1 } C_ { 1 , 3 }
3		ssequn2 3786	. . . . 5 |- ( { 1 } C_ { 1 , 3 } <-> ( { 1 , 3 } u. { 1 } ) = { 1 , 3 } )
4	2, 3	mpbi 220	. . . 4 |- ( { 1 , 3 } u. { 1 } ) = { 1 , 3 }
5	4	uneq1i 3763	. . 3 |- ( ( { 1 , 3 } u. { 1 } ) u. { 8 } ) = ( { 1 , 3 } u. { 8 } )
6	1, 5	eqtr3i 2646	. 2 |- ( { 1 , 3 } u. ( { 1 } u. { 8 } ) ) = ( { 1 , 3 } u. { 8 } )
7		df-pr 4180	. . 3 |- { 1 , 8 } = ( { 1 } u. { 8 } )
8	7	uneq2i 3764	. 2 |- ( { 1 , 3 } u. { 1 , 8 } ) = ( { 1 , 3 } u. ( { 1 } u. { 8 } ) )
9		df-tp 4182	. 2 |- { 1 , 3 , 8 } = ( { 1 , 3 } u. { 8 } )
10	6, 8, 9	3eqtr4i 2654	1 |- ( { 1 , 3 } u. { 1 , 8 } ) = { 1 , 3 , 8 }

Syntax hints:   = wceq 1483   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   1c1 9937   3c3 11071   8c8 11076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pr 4180  df-tp 4182

This theorem is referenced by:  ex-uni  27283