Theorem hlnv 27747

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	|- ( U e. CHilOLD -> U e. NrmCVec )

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 27744	. 2 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CBan )
2		bnnv 27722	. 2 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( U e. CHilOLD -> U e. NrmCVec )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   NrmCVeccnv 27439   CBanccbn 27718   CHilOLDchlo 27741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-cbn 27719  df-hlo 27742

This theorem is referenced by:  hlnvi  27748  hlvc  27749  hladdf  27755  hlcom  27756  hlass  27757  hl0cl  27758  hladdid  27759  hlmulf  27760  hlmulid  27761  hlmulass  27762  hldi  27763  hldir  27764  hlmul0  27765  hlipf  27766  hlipcj  27767  hlipgt0  27770