Theorem iinssiin 39312

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinssiin.1	|- F/ x ph
iinssiin.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
iinssiin	|- ( ph -> |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A C )

Proof of Theorem iinssiin

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinssiin.1	. . . . . 6 |- F/ x ph
2		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x y
3		nfii1 4551	. . . . . . 7 |- F/_ x |^|_ x e. A B
4	2, 3	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ x y e. |^|_ x e. A B
5	1, 4	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B )
6		iinssiin.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ C )
7	6	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) /\ x e. A ) -> B C_ C )
8		eliinid 39294	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. |^|_ x e. A B /\ x e. A ) -> y e. B )
9	8	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) /\ x e. A ) -> y e. B )
10	7, 9	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) /\ x e. A ) -> y e. C )
11	10	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) -> ( x e. A -> y e. C ) )
12	5, 11	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) -> A. x e. A y e. C )
13		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
14		eliin 4525	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
16	12, 15	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. |^|_ x e. A B ) -> y e. |^|_ x e. A C )
17	16	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. |^|_ x e. A B y e. |^|_ x e. A C )
18		dfss3 3592	. 2 |- ( |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A C <-> A. y e. |^|_ x e. A B y e. |^|_ x e. A C )
19	17, 18	sylibr 224	1 |- ( ph -> |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |^|_ciin 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-iin 4523

This theorem is referenced by: (None)