Theorem isbasis3g 20753

Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis3g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 20752	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
2		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x C_ U. B )
3	2	rgen 2922	. . . . 5 |- A. x e. B x C_ U. B
4		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	4	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( x e. U. B -> E. y e. B x e. y )
6	5	rgen 2922	. . . . 5 |- A. x e. U. B E. y e. B x e. y
7	3, 6	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y )
8	7	biantrur 527	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	8, 9	bitr4i 267	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11	1, 10	syl6bb 276	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-bases 20750

This theorem is referenced by: (None)