Theorem isbasis2g 20752

Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis2g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg 20751	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
2		dfss3 3592	. . . 4 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
3		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) )
4		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~P ( x i^i y ) <-> w C_ ( x i^i y ) )
5	4	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	3, 5	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
8		an12 838	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		eluni 4439	. . . . . 6 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
12		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14	13	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
15	2, 14	bitri 264	. . 3 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
16	15	2ralbii 2981	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
17	1, 16	syl6bb 276	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  isbasis3g  20753  basis2  20755  fiinbas  20756  tgclb  20774  topbas  20776  restbas  20962  txbas  21370  blbas  22235