Theorem kmlem6 8977

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem6	|- ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) -> A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )

Distinct variable groups:   v, A   x, v, ph   w, v, z, x

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   A( x, z, w)

Proof of Theorem kmlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3064	. 2 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) /\ A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) <-> ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) )
2		n0 3931	. . . . 5 |- ( z =/= (/) <-> E. v v e. z )
3	2	biimpi 206	. . . 4 |- ( z =/= (/) -> E. v v e. z )
4		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( v e. A -> A =/= (/) )
5	4	necon2bi 2824	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> -. v e. A )
6	5	imim2i 16	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A = (/) ) -> ( ph -> -. v e. A ) )
7	6	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. w e. x ( ph -> A = (/) ) -> A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )
8	7	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A. w e. x ( ph -> A = (/) ) -> A. v A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )
9		19.29r 1802	. . . . 5 |- ( ( E. v v e. z /\ A. v A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) ) -> E. v ( v e. z /\ A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) ) )
10		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) <-> E. v ( v e. z /\ A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( E. v v e. z /\ A. v A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) ) -> E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )
12	3, 8, 11	syl2an 494	. . 3 |- ( ( z =/= (/) /\ A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) -> E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )
13	12	ralimi 2952	. 2 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) /\ A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) -> A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )
14	1, 13	sylbir 225	1 |- ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( ph -> A = (/) ) ) -> A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( ph -> -. v e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  kmlem7  8978