Theorem kmlem7 8978

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem7	|- ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> -. E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )

Distinct variable group:   x, v, w, z

Proof of Theorem kmlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem6 8977	. 2 |- ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) )
2		ralinexa 2997	. . . . . 6 |- ( A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) <-> -. E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
3	2	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. v e. z A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) <-> E. v e. z -. E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
4		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. v e. z -. E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> -. A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
5	3, 4	bitri 264	. . . 4 |- ( E. v e. z A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) <-> -. A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
6	5	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) <-> A. z e. x -. A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
7		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. z e. x -. A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> -. E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. 2 |- ( A. z e. x E. v e. z A. w e. x ( z =/= w -> -. v e. ( z i^i w ) ) <-> -. E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )
9	1, 8	sylib 208	1 |- ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> -. E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  kmlem13  8984