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Theorem moel 29323
Description: "At most one" element in a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
moel |- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )
Distinct variable group:   x, y, A
Proof of Theorem moel
StepHypRef Expression
1 ralcom4 3224 . 2 |- ( A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
2 df-ral 2917 . . 3 |- ( A. y e. A x = y <-> A. y ( y e. A -> x = y ) )
32ralbii 2980 . 2 |- ( A. x e. A A. y e. A x = y <-> A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) )
4 alcom 2037 . . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
5 eleq1 2689 . . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
65mo4 2517 . . 3 |- ( E* x x e. A <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
7 df-ral 2917 . . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
8 impexp 462 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
98albii 1747 . . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
107, 9bitr4i 267 . . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
1110albii 1747 . . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
124, 6, 113bitr4i 292 . 2 |- ( E* x x e. A <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
131, 3, 123bitr4ri 293 1 |- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202
This theorem is referenced by:  disjnf  29384
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