Theorem nfdisj 4632

Description: Bound-variable hypothesis builder for disjoint collection. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfdisj.1	|- F/_ y A
nfdisj.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfdisj	|- F/ yDisj x e. A B

Proof of Theorem nfdisj

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisj2 4622	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. z E* x ( x e. A /\ z e. B ) )
2		nftru 1730	. . . . 5 |- F/ x T.
3		nfcvf 2788	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
4		nfdisj.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y A )
6	3, 5	nfeld 2773	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. A )
7		nfdisj.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ y B
8	7	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. B
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z e. B )
10	6, 9	nfand 1826	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> F/ y ( x e. A /\ z e. B ) )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A /\ z e. B ) )
12	2, 11	nfmod2 2483	. . . 4 |- ( T. -> F/ y E* x ( x e. A /\ z e. B ) )
13	12	trud 1493	. . 3 |- F/ y E* x ( x e. A /\ z e. B )
14	13	nfal 2153	. 2 |- F/ y A. z E* x ( x e. A /\ z e. B )
15	1, 14	nfxfr 1779	1 |- F/ yDisj x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   A.wal 1481   T. wtru 1484   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E*wmo 2471   F/_wnfc 2751  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rmo 2920  df-disj 4621

This theorem is referenced by:  disjxiun  4649  disjxiunOLD  4650