Theorem disjxiunOLD 4650

Description: Obsolete proof of disjxiun 4649 as of 27-May-2021. An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that B ( y ) and C ( x ) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
disjxiunOLD	|- (Disj y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C <-> ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   y, C

Allowed substitution hints:   B( y)   C( x)

Proof of Theorem disjxiunOLD

Dummy variables s r u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4550	. . . . . 6 |- F/_ y U_ y e. A B
2		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y C
3	1, 2	nfdisj 4632	. . . . 5 |- F/ yDisj x e. U_ y e. A B C
4		ssiun2 4563	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> B C_ U_ y e. A B )
5		disjss1 4626	. . . . . . 7 |- ( B C_ U_ y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C -> Disj x e. B C ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. A -> (Disj x e. U_ y e. A B C -> Disj x e. B C ) )
7	6	com12 32	. . . . 5 |- (Disj x e. U_ y e. A B C -> ( y e. A -> Disj x e. B C ) )
8	3, 7	ralrimi 2957	. . . 4 |- (Disj x e. U_ y e. A B C -> A. y e. A Disj x e. B C )
9	8	a1i 11	. . 3 |- (Disj y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C -> A. y e. A Disj x e. B C ) )
10		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> Disj x e. U_ y e. A B C )
11		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> u e. A )
12		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A -> [_ u / y ]_ B C_ U_ u e. A [_ u / y ]_ B )
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ u B
14		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y [_ u / y ]_ B
15		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = u -> B = [_ u / y ]_ B )
16	13, 14, 15	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ y e. A B = U_ u e. A [_ u / y ]_ B
17	12, 16	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. A -> [_ u / y ]_ B C_ U_ y e. A B )
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> [_ u / y ]_ B C_ U_ y e. A B )
19		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> v e. A )
20		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = v -> [_ u / y ]_ B = [_ v / y ]_ B )
21	20	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( [_ u / y ]_ B C_ U_ y e. A B <-> [_ v / y ]_ B C_ U_ y e. A B ) )
22	21, 17	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. A -> [_ v / y ]_ B C_ U_ y e. A B )
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> [_ v / y ]_ B C_ U_ y e. A B )
24		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> Disj y e. A B )
25	13, 14, 15	cbvdisj 4630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Disj y e. A B <-> Disj u e. A [_ u / y ]_ B )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> Disj u e. A [_ u / y ]_ B )
27	20	disjor 4634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj u e. A [_ u / y ]_ B <-> A. u e. A A. v e. A ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) )
28	26, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) )
29		rsp2 2936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. A A. v e. A ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v \/ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) )
32	31	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u = v -> ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) )
33	32	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) )
34		disjiun 4640	. . . . . . . . . 10 |- ( (Disj x e. U_ y e. A B C /\ ( [_ u / y ]_ B C_ U_ y e. A B /\ [_ v / y ]_ B C_ U_ y e. A B /\ ( [_ u / y ]_ B i^i [_ v / y ]_ B ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) )
35	10, 18, 23, 33, 34	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( ( u e. A /\ v e. A ) /\ -. u = v ) ) -> ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) )
36	35	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u = v -> ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) ) )
37	36	orrd 393	. . . . . . 7 |- ( ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v \/ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) ) )
38	37	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v \/ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) ) )
39	20	iuneq1d 4545	. . . . . . 7 |- ( u = v -> U_ x e. [_ u / y ]_ B C = U_ x e. [_ v / y ]_ B C )
40	39	disjor 4634	. . . . . 6 |- (Disj u e. A U_ x e. [_ u / y ]_ B C <-> A. u e. A A. v e. A ( u = v \/ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) ) )
41	38, 40	sylibr 224	. . . . 5 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> Disj u e. A U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
42		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ u U_ x e. B C
43	14, 2	nfiun 4548	. . . . . 6 |- F/_ y U_ x e. [_ u / y ]_ B C
44	15	iuneq1d 4545	. . . . . 6 |- ( y = u -> U_ x e. B C = U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
45	42, 43, 44	cbvdisj 4630	. . . . 5 |- (Disj y e. A U_ x e. B C <-> Disj u e. A U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
46	41, 45	sylibr 224	. . . 4 |- ( (Disj y e. A B /\ Disj x e. U_ y e. A B C ) -> Disj y e. A U_ x e. B C )
47	46	ex 450	. . 3 |- (Disj y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C -> Disj y e. A U_ x e. B C ) )
48	9, 47	jcad 555	. 2 |- (Disj y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C -> ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) )
49	16	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( r e. U_ y e. A B <-> r e. U_ u e. A [_ u / y ]_ B )
50		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( r e. U_ u e. A [_ u / y ]_ B <-> E. u e. A r e. [_ u / y ]_ B )
51	49, 50	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( r e. U_ y e. A B <-> E. u e. A r e. [_ u / y ]_ B )
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ v B
53		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y [_ v / y ]_ B
54		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> B = [_ v / y ]_ B )
55	52, 53, 54	cbviun 4557	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. A B = U_ v e. A [_ v / y ]_ B
56	55	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( s e. U_ y e. A B <-> s e. U_ v e. A [_ v / y ]_ B )
57		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( s e. U_ v e. A [_ v / y ]_ B <-> E. v e. A s e. [_ v / y ]_ B )
58	56, 57	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( s e. U_ y e. A B <-> E. v e. A s e. [_ v / y ]_ B )
59	51, 58	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( r e. U_ y e. A B /\ s e. U_ y e. A B ) <-> ( E. u e. A r e. [_ u / y ]_ B /\ E. v e. A s e. [_ v / y ]_ B ) )
60		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. u e. A E. v e. A ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) <-> ( E. u e. A r e. [_ u / y ]_ B /\ E. v e. A s e. [_ v / y ]_ B ) )
61	59, 60	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( r e. U_ y e. A B /\ s e. U_ y e. A B ) <-> E. u e. A E. v e. A ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) )
62		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> -. r = s )
63		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
64		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A. y e. A Disj x e. B C )
65	14, 2	nfdisj 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ yDisj x e. [_ u / y ]_ B C
66	15	disjeq1d 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> (Disj x e. B C <-> Disj x e. [_ u / y ]_ B C ) )
67	65, 66	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. A -> ( A. y e. A Disj x e. B C -> Disj x e. [_ u / y ]_ B C ) )
68	63, 64, 67	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> Disj x e. [_ u / y ]_ B C )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> Disj x e. [_ u / y ]_ B C )
70		disjors 4635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj x e. [_ u / y ]_ B C <-> A. r e. [_ u / y ]_ B A. s e. [_ u / y ]_ B ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> A. r e. [_ u / y ]_ B A. s e. [_ u / y ]_ B ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
72		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) )
73	72	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> r e. [_ u / y ]_ B )
74	72	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> s e. [_ v / y ]_ B )
75	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> [_ u / y ]_ B = [_ v / y ]_ B )
76	74, 75	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> s e. [_ u / y ]_ B )
77	73, 76	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ u / y ]_ B ) )
78		rsp2 2936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. r e. [_ u / y ]_ B A. s e. [_ u / y ]_ B ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) -> ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ u / y ]_ B ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) ) )
79	71, 77, 78	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
80	79	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> ( -. r = s -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
81	62, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u = v ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) )
82		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) )
83	82	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> r e. [_ u / y ]_ B )
84		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. [_ u / y ]_ B -> [_ r / x ]_ C C_ U_ r e. [_ u / y ]_ B [_ r / x ]_ C )
85		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ r C
86		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ r / x ]_ C
87		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = r -> C = [_ r / x ]_ C )
88	85, 86, 87	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. [_ u / y ]_ B C = U_ r e. [_ u / y ]_ B [_ r / x ]_ C
89	84, 88	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. [_ u / y ]_ B -> [_ r / x ]_ C C_ U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
90	83, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> [_ r / x ]_ C C_ U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
91	82	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> s e. [_ v / y ]_ B )
92		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. [_ v / y ]_ B -> [_ s / x ]_ C C_ U_ s e. [_ v / y ]_ B [_ s / x ]_ C )
93		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ s C
94		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ s / x ]_ C
95		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = s -> C = [_ s / x ]_ C )
96	93, 94, 95	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. [_ v / y ]_ B C = U_ s e. [_ v / y ]_ B [_ s / x ]_ C
97	92, 96	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. [_ v / y ]_ B -> [_ s / x ]_ C C_ U_ x e. [_ v / y ]_ B C )
98	91, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> [_ s / x ]_ C C_ U_ x e. [_ v / y ]_ B C )
99		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [_ r / x ]_ C C_ U_ x e. [_ u / y ]_ B C /\ [_ s / x ]_ C C_ U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) C_ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) )
100	90, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) C_ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) )
101		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> Disj y e. A U_ x e. B C )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> Disj y e. A U_ x e. B C )
103		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z U_ x e. B C
104		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ z / y ]_ B
105	104, 2	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y U_ x e. [_ z / y ]_ B C
106		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> B = [_ z / y ]_ B )
107	106	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> U_ x e. B C = U_ x e. [_ z / y ]_ B C )
108	103, 105, 107	cbvdisj 4630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. A U_ x e. B C <-> Disj z e. A U_ x e. [_ z / y ]_ B C )
109	102, 108	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> Disj z e. A U_ x e. [_ z / y ]_ B C )
110	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> u e. A )
111		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> v e. A )
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> u =/= v )
114		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = u -> [_ z / y ]_ B = [_ u / y ]_ B )
115	114	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = u -> U_ x e. [_ z / y ]_ B C = U_ x e. [_ u / y ]_ B C )
116		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = v -> [_ z / y ]_ B = [_ v / y ]_ B )
117	116	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = v -> U_ x e. [_ z / y ]_ B C = U_ x e. [_ v / y ]_ B C )
118	115, 117	disji2 4636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj z e. A U_ x e. [_ z / y ]_ B C /\ ( u e. A /\ v e. A ) /\ u =/= v ) -> ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) )
119	109, 110, 112, 113, 118	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) )
120		sseq0 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) C_ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) /\ ( U_ x e. [_ u / y ]_ B C i^i U_ x e. [_ v / y ]_ B C ) = (/) ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) )
121	100, 119, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) /\ u =/= v ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) )
122	81, 121	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) /\ -. r = s ) ) -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) )
123	122	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) ) -> ( -. r = s -> ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
124	123	orrd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
125	124	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) ) )
126	125	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) -> ( E. u e. A E. v e. A ( r e. [_ u / y ]_ B /\ s e. [_ v / y ]_ B ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) ) )
127	61, 126	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) -> ( ( r e. U_ y e. A B /\ s e. U_ y e. A B ) -> ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) ) )
128	127	ralrimivv 2970	. . . 4 |- ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) -> A. r e. U_ y e. A B A. s e. U_ y e. A B ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
129		disjors 4635	. . . 4 |- (Disj x e. U_ y e. A B C <-> A. r e. U_ y e. A B A. s e. U_ y e. A B ( r = s \/ ( [_ r / x ]_ C i^i [_ s / x ]_ C ) = (/) ) )
130	128, 129	sylibr 224	. . 3 |- ( (Disj y e. A B /\ ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) -> Disj x e. U_ y e. A B C )
131	130	ex 450	. 2 |- (Disj y e. A B -> ( ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) -> Disj x e. U_ y e. A B C ) )
132	48, 131	impbid 202	1 |- (Disj y e. A B -> (Disj x e. U_ y e. A B C <-> ( A. y e. A Disj x e. B C /\ Disj y e. A U_ x e. B C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-iun 4522  df-disj 4621

This theorem is referenced by: (None)