Theorem prtlem15 34160

Description: Lemma for prter1 34164 and prtex 34165. (Contributed by Rodolfo Medina, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
prtlem15	|- ( Prt A -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> E. z e. A ( u e. z /\ v e. z ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z   x, A, y, z

Allowed substitution hints:   A( w, v, u)

Proof of Theorem prtlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anabs7 852	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. x /\ w e. y ) /\ ( ( u e. x /\ v e. y ) /\ ( w e. x /\ w e. y ) ) ) <-> ( ( u e. x /\ v e. y ) /\ ( w e. x /\ w e. y ) ) )
2		an43 867	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) <-> ( ( u e. x /\ v e. y ) /\ ( w e. x /\ w e. y ) ) )
3	2	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. x /\ w e. y ) /\ ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) ) <-> ( ( w e. x /\ w e. y ) /\ ( ( u e. x /\ v e. y ) /\ ( w e. x /\ w e. y ) ) ) )
4	1, 3, 2	3bitr4ri 293	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) <-> ( ( w e. x /\ w e. y ) /\ ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) ) )
5		prtlem14 34159	. . . . . . . 8 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( w e. x /\ w e. y ) -> x = y ) ) )
6		an3 868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. y ) )
7		elequ2 2004	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( v e. x <-> v e. y ) )
8	7	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( u e. x /\ v e. x ) <-> ( u e. x /\ v e. y ) ) )
9	6, 8	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) )
10	5, 9	syl8 76	. . . . . . 7 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( w e. x /\ w e. y ) -> ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) ) ) )
11	10	imp4a 614	. . . . . 6 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( w e. x /\ w e. y ) /\ ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) ) )
12	4, 11	syl7bi 245	. . . . 5 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) ) )
13	12	expdimp 453	. . . 4 |- ( ( Prt A /\ x e. A ) -> ( y e. A -> ( ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) ) )
14	13	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ( Prt A /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. x /\ v e. x ) ) )
15	14	reximdva 3017	. 2 |- ( Prt A -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> E. x e. A ( u e. x /\ v e. x ) ) )
16		elequ2 2004	. . . 4 |- ( x = z -> ( u e. x <-> u e. z ) )
17		elequ2 2004	. . . 4 |- ( x = z -> ( v e. x <-> v e. z ) )
18	16, 17	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = z -> ( ( u e. x /\ v e. x ) <-> ( u e. z /\ v e. z ) ) )
19	18	cbvrexv 3172	. 2 |- ( E. x e. A ( u e. x /\ v e. x ) <-> E. z e. A ( u e. z /\ v e. z ) )
20	15, 19	syl6ib 241	1 |- ( Prt A -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( u e. x /\ w e. x ) /\ ( w e. y /\ v e. y ) ) -> E. z e. A ( u e. z /\ v e. z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   E.wrex 2913   Prt wprt 34156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-nul 3916  df-prt 34157

This theorem is referenced by:  prter1  34164