Theorem prtlem17 34161

Description: Lemma for prter2 34166. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
prtlem17	|- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ z e. x ) -> ( E. y e. A ( z e. y /\ w e. y ) -> w e. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, y   y, w

Allowed substitution hints:   A( z, w)

Proof of Theorem prtlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ w e. y ) <-> E. y ( y e. A /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) )
2		an32 839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. x ) <-> ( ( x e. A /\ z e. x ) /\ y e. A ) )
3		prtlem14 34159	. . . . . . . . . . 11 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z e. x /\ z e. y ) -> x = y ) ) )
4		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( w e. x <-> w e. y ) )
5	4	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( w e. y -> w e. x ) )
6	3, 5	syl8 76	. . . . . . . . . 10 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z e. x /\ z e. y ) -> ( w e. y -> w e. x ) ) ) )
7	6	exp4a 633	. . . . . . . . 9 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( z e. x -> ( z e. y -> ( w e. y -> w e. x ) ) ) ) )
8	7	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( Prt A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. x ) -> ( z e. y -> ( w e. y -> w e. x ) ) ) )
9	2, 8	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( Prt A -> ( ( ( x e. A /\ z e. x ) /\ y e. A ) -> ( z e. y -> ( w e. y -> w e. x ) ) ) )
10	9	expd 452	. . . . . 6 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ z e. x ) -> ( y e. A -> ( z e. y -> ( w e. y -> w e. x ) ) ) ) )
11	10	imp5a 624	. . . . 5 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ z e. x ) -> ( y e. A -> ( ( z e. y /\ w e. y ) -> w e. x ) ) ) )
12	11	imp4b 613	. . . 4 |- ( ( Prt A /\ ( x e. A /\ z e. x ) ) -> ( ( y e. A /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> w e. x ) )
13	12	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( Prt A /\ ( x e. A /\ z e. x ) ) -> ( E. y ( y e. A /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> w e. x ) )
14	1, 13	syl5bi 232	. 2 |- ( ( Prt A /\ ( x e. A /\ z e. x ) ) -> ( E. y e. A ( z e. y /\ w e. y ) -> w e. x ) )
15	14	ex 450	1 |- ( Prt A -> ( ( x e. A /\ z e. x ) -> ( E. y e. A ( z e. y /\ w e. y ) -> w e. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   Prt wprt 34156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-nul 3916  df-prt 34157

This theorem is referenced by:  prtlem18  34162