Theorem r19.35 3084

Description: Restricted quantifier version of 19.35 1805. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r19.35	|- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Proof of Theorem r19.35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3064	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph /\ -. ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. A -. ps ) )
2		annim 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ps ) <-> -. ( ph -> ps ) )
3	2	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph /\ -. ps ) <-> A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
4		df-an 386	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. A -. ps ) <-> -. ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
5	1, 3, 4	3bitr3i 290	. . 3 |- ( A. x e. A -. ( ph -> ps ) <-> -. ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
6	5	con2bii 347	. 2 |- ( ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) <-> -. A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
7		dfrex2 2996	. . 3 |- ( E. x e. A ps <-> -. A. x e. A -. ps )
8	7	imbi2i 326	. 2 |- ( ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
9		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> -. A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
10	6, 8, 9	3bitr4ri 293	1 |- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  r19.36v  3085  r19.37  3086  r19.43  3093  r19.37zv  4067  r19.36zv  4072  iinexg  4824  bndndx  11291  nmobndseqi  27634  nmobndseqiALT  27635  r19.36vf  39324