Theorem nmobndseqi 27634

Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmoubi.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmoubi.l	|- L = ( normCV ` U )
nmoubi.m	|- M = ( normCV ` W )
nmoubi.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndseqi	|- ( ( T : X --> Y /\ A. f ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) -> ( N ` T ) e. RR )

Distinct variable groups:   f, k, L   k, Y   f, M, k   T, f, k   f, X, k   k, N

Allowed substitution hints:   U( f, k)   N( f)   W( f, k)   Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp 462	. . . . . 6 |- ( ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) <-> ( f : NN --> X -> ( A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
2		r19.35 3084	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) <-> ( A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) )
3	2	imbi2i 326	. . . . . 6 |- ( ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) <-> ( f : NN --> X -> ( A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
4	1, 3	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) <-> ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
5	4	albii 1747	. . . 4 |- ( A. f ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) <-> A. f ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
6		nmoubi.1	. . . . . . . . 9 |- X = ( BaseSet ` U )
7		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
8	6, 7	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- X e. _V
9		nnenom 12779	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` k ) -> ( L ` y ) = ( L ` ( f ` k ) ) )
11	10	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( f ` k ) -> ( ( L ` y ) <_ 1 <-> ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( f ` k ) -> ( T ` y ) = ( T ` ( f ` k ) ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` k ) -> ( M ` ( T ` y ) ) = ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) )
14	13	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( f ` k ) -> ( ( M ` ( T ` y ) ) <_ k <-> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) )
15	11, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( f ` k ) -> ( ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
16	15	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = ( f ` k ) -> ( -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
17	8, 9, 16	axcc4 9261	. . . . . . 7 |- ( A. k e. NN E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) -> E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
18	17	con3i 150	. . . . . 6 |- ( -. E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) -> -. A. k e. NN E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
19		dfrex2 2996	. . . . . . . . 9 |- ( E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) <-> -. A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) )
20	19	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) <-> ( f : NN --> X -> -. A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
21	20	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. f ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) <-> A. f ( f : NN --> X -> -. A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
22		alinexa 1770	. . . . . . 7 |- ( A. f ( f : NN --> X -> -. A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) <-> -. E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
23	21, 22	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. f ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) <-> -. E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN -. ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) )
24		dfral2 2994	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> -. E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
25	24	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> E. k e. NN -. E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
26		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN -. E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> -. A. k e. NN E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
27	25, 26	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. k e. NN A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) <-> -. A. k e. NN E. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
28	18, 23, 27	3imtr4i 281	. . . . 5 |- ( A. f ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) -> E. k e. NN A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
29		nnre 11027	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR )
30	29	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) ) -> ( k e. RR /\ A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) ) )
31	30	reximi2 3010	. . . . 5 |- ( E. k e. NN A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) -> E. k e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
32	28, 31	syl 17	. . . 4 |- ( A. f ( f : NN --> X -> E. k e. NN ( ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) -> E. k e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
33	5, 32	sylbi 207	. . 3 |- ( A. f ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) -> E. k e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) )
34		nmoubi.y	. . . 4 |- Y = ( BaseSet ` W )
35		nmoubi.l	. . . 4 |- L = ( normCV ` U )
36		nmoubi.m	. . . 4 |- M = ( normCV ` W )
37		nmoubi.3	. . . 4 |- N = ( U normOpOLD W )
38		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
39		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
40	6, 34, 35, 36, 37, 38, 39	nmobndi 27630	. . 3 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) e. RR <-> E. k e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ k ) ) )
41	33, 40	syl5ibr 236	. 2 |- ( T : X --> Y -> ( A. f ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) -> ( N ` T ) e. RR ) )
42	41	imp 445	1 |- ( ( T : X --> Y /\ A. f ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( L ` ( f ` k ) ) <_ 1 ) -> E. k e. NN ( M ` ( T ` ( f ` k ) ) ) <_ k ) ) -> ( N ` T ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   <_ cle 10075   NNcn 11020   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   norm_CVcnmcv 27445   normOpOLDcnmoo 27596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-nmoo 27600

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