Theorem r2exlem 3059

Description: Lemma factoring out common proof steps in r2exf 3060 an r2ex 3061. Introduced to reduce dependencies on axioms. (Contributed by Wolf Lammen, 10-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2exlem.1	|- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )

Assertion

Ref	Expression
r2exlem	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )

Proof of Theorem r2exlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exnal 1754	. . 3 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
2		r2exlem.1	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
3	1, 2	xchbinxr 325	. 2 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
4		alinexa 1770	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
5	4	con2bii 347	. . 3 |- ( E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
6	5	exbii 1774	. 2 |- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
7		ralnex2 3045	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> -. E. x e. A E. y e. B ph )
8	7	con2bii 347	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 293	1 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  r2exf  3060  r2ex  3061