Theorem ralcomf 3096

Description: Commutation of restricted universal quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralcomf.1	|- F/_ y A
ralcomf.2	|- F/_ x B

Assertion

Ref	Expression
ralcomf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem ralcomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancomst 468	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2	1	2albii 1748	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3		alcom 2037	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	bitri 264	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5		ralcomf.1	. . 3 |- F/_ y A
6	5	r2alf 2938	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
7		ralcomf.2	. . 3 |- F/_ x B
8	7	r2alf 2938	. 2 |- ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 292	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917

This theorem is referenced by:  ralcom  3098  ssiinf  4569  ralcom4f  29316