Theorem sbcrextOLD 3512

Description: Obsolete proof of sbcrext 3511 as of 7-Jul-2021. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.) (Revised by NM, 18-Aug-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sbcrextOLD	|- ( F/_ y A -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)

Proof of Theorem sbcrextOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcng 3476	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph ) )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph ) )
3		sbcralt 3510	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> A. y e. B [. A / x ]. -. ph ) )
4		nfnfc1 2767	. . . . . . . . 9 |- F/ y F/_ y A
5		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( F/_ y A -> F/_ y A )
6		nfcvd 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( F/_ y A -> F/_ y _V )
7	5, 6	nfeld 2773	. . . . . . . . 9 |- ( F/_ y A -> F/ y A e. _V )
8	4, 7	nfan1 2068	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F/_ y A /\ A e. _V )
9		sbcng 3476	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. -. ph <-> -. [. A / x ]. ph ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. -. ph <-> -. [. A / x ]. ph ) )
11	8, 10	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( A. y e. B [. A / x ]. -. ph <-> A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
12	11	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( A. y e. B [. A / x ]. -. ph <-> A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
13	3, 12	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
14	13	notbid 308	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
15	2, 14	bitrd 268	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
16		dfrex2 2996	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> -. A. y e. B -. ph )
17	16	sbcbii 3491	. . 3 |- ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph )
18		dfrex2 2996	. . 3 |- ( E. y e. B [. A / x ]. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph )
19	15, 17, 18	3bitr4g 303	. 2 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )
20		sbcex 3445	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. E. y e. B ph -> A e. _V )
21	20	con3i 150	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. E. y e. B ph )
22	21	adantr 481	. . 3 |- ( ( -. A e. _V /\ F/_ y A ) -> -. [. A / x ]. E. y e. B ph )
23		sbcex 3445	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. ph -> A e. _V )
24	23	2a1i 12	. . . . . 6 |- ( F/_ y A -> ( y e. B -> ( [. A / x ]. ph -> A e. _V ) ) )
25	4, 7, 24	rexlimd2 3025	. . . . 5 |- ( F/_ y A -> ( E. y e. B [. A / x ]. ph -> A e. _V ) )
26	25	con3rr3 151	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( F/_ y A -> -. E. y e. B [. A / x ]. ph ) )
27	26	imp 445	. . 3 |- ( ( -. A e. _V /\ F/_ y A ) -> -. E. y e. B [. A / x ]. ph )
28	22, 27	2falsed 366	. 2 |- ( ( -. A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )
29	19, 28	pm2.61ian 831	1 |- ( F/_ y A -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436

This theorem is referenced by: (None)