Theorem sbcrext 3511

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.) (Revised by NM, 18-Aug-2018.) (Proof shortened by JJ, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sbcrext	|- ( F/_ y A -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)

Proof of Theorem sbcrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcex 3445	. . 3 |- ( [. A / x ]. E. y e. B ph -> A e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( F/_ y A -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph -> A e. _V ) )
3		nfnfc1 2767	. . 3 |- F/ y F/_ y A
4		id 22	. . . 4 |- ( F/_ y A -> F/_ y A )
5		nfcvd 2765	. . . 4 |- ( F/_ y A -> F/_ y _V )
6	4, 5	nfeld 2773	. . 3 |- ( F/_ y A -> F/ y A e. _V )
7		sbcex 3445	. . . 4 |- ( [. A / x ]. ph -> A e. _V )
8	7	2a1i 12	. . 3 |- ( F/_ y A -> ( y e. B -> ( [. A / x ]. ph -> A e. _V ) ) )
9	3, 6, 8	rexlimd2 3025	. 2 |- ( F/_ y A -> ( E. y e. B [. A / x ]. ph -> A e. _V ) )
10		sbcng 3476	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph ) )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph ) )
12		sbcralt 3510	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F/_ y A ) -> ( [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> A. y e. B [. A / x ]. -. ph ) )
13	12	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> A. y e. B [. A / x ]. -. ph ) )
14	3, 6	nfan1 2068	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F/_ y A /\ A e. _V )
15		sbcng 3476	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. -. ph <-> -. [. A / x ]. ph ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. -. ph <-> -. [. A / x ]. ph ) )
17	14, 16	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( A. y e. B [. A / x ]. -. ph <-> A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
18	13, 17	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
19	18	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( -. [. A / x ]. A. y e. B -. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
20	11, 19	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph ) )
21		dfrex2 2996	. . . . 5 |- ( E. y e. B ph <-> -. A. y e. B -. ph )
22	21	sbcbii 3491	. . . 4 |- ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> [. A / x ]. -. A. y e. B -. ph )
23		dfrex2 2996	. . . 4 |- ( E. y e. B [. A / x ]. ph <-> -. A. y e. B -. [. A / x ]. ph )
24	20, 22, 23	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( F/_ y A /\ A e. _V ) -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )
25	24	ex 450	. 2 |- ( F/_ y A -> ( A e. _V -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) ) )
26	2, 9, 25	pm5.21ndd 369	1 |- ( F/_ y A -> ( [. A / x ]. E. y e. B ph <-> E. y e. B [. A / x ]. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436

This theorem is referenced by:  sbcrex  3514