Theorem ssiun3 29376

Description: Subset equivalence for an indexed union. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssiun3	|- ( A. y e. C E. x e. A y e. B <-> C C_ U_ x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ssiun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3591	. 2 |- ( C C_ U_ x e. A B <-> A. y ( y e. C -> y e. U_ x e. A B ) )
2		df-ral 2917	. 2 |- ( A. y e. C y e. U_ x e. A B <-> A. y ( y e. C -> y e. U_ x e. A B ) )
3		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
4	3	ralbii 2980	. 2 |- ( A. y e. C y e. U_ x e. A B <-> A. y e. C E. x e. A y e. B )
5	1, 2, 4	3bitr2ri 289	1 |- ( A. y e. C E. x e. A y e. B <-> C C_ U_ x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-iun 4522

This theorem is referenced by: (None)