Theorem symdifass 3853

Description: Symmetric difference associates. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
symdifass	|- ( A /_\ ( B /_\ C ) ) = ( ( A /_\ B ) /_\ C )

Proof of Theorem symdifass

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biass 374	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> ( x e. A <-> ( x e. B <-> x e. C ) ) )
2	1	notbii 310	. . . . . 6 |- ( -. ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> -. ( x e. A <-> ( x e. B <-> x e. C ) ) )
3		xor3 372	. . . . . . . 8 |- ( -. ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> -. x e. C ) )
4		notbi 309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> -. x e. C ) )
5	3, 4	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( -. ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) )
6	5	con1bii 346	. . . . . 6 |- ( -. ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) <-> ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) )
7		xor3 372	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. A <-> ( x e. B <-> x e. C ) ) <-> ( x e. A <-> -. ( x e. B <-> x e. C ) ) )
8	2, 6, 7	3bitr3ri 291	. . . . 5 |- ( ( x e. A <-> -. ( x e. B <-> x e. C ) ) <-> ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) )
9		elsymdif 3849	. . . . . 6 |- ( x e. ( B /_\ C ) <-> -. ( x e. B <-> x e. C ) )
10	9	bibi2i 327	. . . . 5 |- ( ( x e. A <-> x e. ( B /_\ C ) ) <-> ( x e. A <-> -. ( x e. B <-> x e. C ) ) )
11		elsymdif 3849	. . . . . 6 |- ( x e. ( A /_\ B ) <-> -. ( x e. A <-> x e. B ) )
12	11	bibi1i 328	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A /_\ B ) <-> x e. C ) <-> ( -. ( x e. A <-> x e. B ) <-> x e. C ) )
13	8, 10, 12	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( ( x e. A <-> x e. ( B /_\ C ) ) <-> ( x e. ( A /_\ B ) <-> x e. C ) )
14	13	notbii 310	. . 3 |- ( -. ( x e. A <-> x e. ( B /_\ C ) ) <-> -. ( x e. ( A /_\ B ) <-> x e. C ) )
15		elsymdif 3849	. . 3 |- ( x e. ( A /_\ ( B /_\ C ) ) <-> -. ( x e. A <-> x e. ( B /_\ C ) ) )
16		elsymdif 3849	. . 3 |- ( x e. ( ( A /_\ B ) /_\ C ) <-> -. ( x e. ( A /_\ B ) <-> x e. C ) )
17	14, 15, 16	3bitr4i 292	. 2 |- ( x e. ( A /_\ ( B /_\ C ) ) <-> x e. ( ( A /_\ B ) /_\ C ) )
18	17	eqriv 2619	1 |- ( A /_\ ( B /_\ C ) ) = ( ( A /_\ B ) /_\ C )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   /_\ csymdif 3843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-symdif 3844

This theorem is referenced by: (None)