Theorem wl-eutf 33355

Description: Closed form of df-eu 2474 with a distinctor avoiding distinct variable conditions. (Contributed by Wolf Lammen, 23-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wl-eutf	|- ( ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph ) -> ( E! x ph <-> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )

Proof of Theorem wl-eutf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfnae 2318	. . 3 |- F/ x -. A. x x = y
2		nfa1 2028	. . 3 |- F/ x A. x F/ y ph
3	1, 2	nfan 1828	. 2 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph )
4		nfnae 2318	. . 3 |- F/ y -. A. x x = y
5		nfnf1 2031	. . . 4 |- F/ y F/ y ph
6	5	nfal 2153	. . 3 |- F/ y A. x F/ y ph
7	4, 6	nfan 1828	. 2 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph )
8		simpl 473	. 2 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph ) -> -. A. x x = y )
9		sp 2053	. . 3 |- ( A. x F/ y ph -> F/ y ph )
10	9	adantl 482	. 2 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph ) -> F/ y ph )
11	3, 7, 8, 10	wl-eudf 33354	1 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x F/ y ph ) -> ( E! x ph <-> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708   E!weu 2470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474

This theorem is referenced by: (None)