Theorem zfregcl 8499

Description: The Axiom of Regularity with class variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1994.) Replace sethood hypothesis with sethood antecedent. (Revised by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zfregcl	|- ( A e. V -> ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem zfregcl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . 4 |- ( z = A -> ( x e. z <-> x e. A ) )
2	1	exbidv 1850	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x x e. z <-> E. x x e. A ) )
3		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
4	3	notbid 308	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. y e. z <-> -. y e. A ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. y e. x -. y e. z <-> A. y e. x -. y e. A ) )
6	5	rexeqbi1dv 3147	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. z A. y e. x -. y e. z <-> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) )
7	2, 6	imbi12d 334	. 2 |- ( z = A -> ( ( E. x x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z ) <-> ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) ) )
8		nfre1 3005	. . 3 |- F/ x E. x e. z A. y e. x -. y e. z
9		axreg2 8498	. . . 4 |- ( x e. z -> E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) )
10		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. x -. y e. z <-> A. y ( y e. x -> -. y e. z ) )
11	10	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. z A. y e. x -. y e. z <-> E. x e. z A. y ( y e. x -> -. y e. z ) )
12		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. z A. y ( y e. x -> -. y e. z ) <-> E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) )
13	11, 12	bitr2i 265	. . . 4 |- ( E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) <-> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
14	9, 13	sylib 208	. . 3 |- ( x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
15	8, 14	exlimi 2086	. 2 |- ( E. x x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
16	7, 15	vtoclg 3266	1 |- ( A e. V -> ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-ext 2602  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202

This theorem is referenced by:  zfreg  8500  elirrv  8504