Theorem elirrv 8504

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 8509 and efrirr 5095, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.) (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
elirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem elirrv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4908	. . 3 |- { x } e. _V
2		eleq1 2689	. . . 4 |- ( y = x -> ( y e. { x } <-> x e. { x } ) )
3		vsnid 4209	. . . 4 |- x e. { x }
4	2, 3	spei 2261	. . 3 |- E. y y e. { x }
5		zfregcl 8499	. . 3 |- ( { x } e. _V -> ( E. y y e. { x } -> E. y e. { x } A. z e. y -. z e. { x } ) )
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 |- E. y e. { x } A. z e. y -. z e. { x }
7		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( y e. { x } <-> y = x )
8		ax9 2003	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. x -> x e. y ) )
9	8	equcoms 1947	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( x e. x -> x e. y ) )
10	9	com12 32	. . . . . . 7 |- ( x e. x -> ( y = x -> x e. y ) )
11	7, 10	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( x e. x -> ( y e. { x } -> x e. y ) )
12		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z e. { x } <-> x e. { x } ) )
13	12	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( -. z e. { x } <-> -. x e. { x } ) )
14	13	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y -. z e. { x } -> ( x e. y -> -. x e. { x } ) )
15	3, 14	mt2i 132	. . . . . 6 |- ( A. z e. y -. z e. { x } -> -. x e. y )
16	11, 15	nsyli 155	. . . . 5 |- ( x e. x -> ( A. z e. y -. z e. { x } -> -. y e. { x } ) )
17	16	con2d 129	. . . 4 |- ( x e. x -> ( y e. { x } -> -. A. z e. y -. z e. { x } ) )
18	17	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( x e. x -> A. y e. { x } -. A. z e. y -. z e. { x } )
19		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. y e. { x } -. A. z e. y -. z e. { x } <-> -. E. y e. { x } A. z e. y -. z e. { x } )
20	18, 19	sylib 208	. 2 |- ( x e. x -> -. E. y e. { x } A. z e. y -. z e. { x } )
21	6, 20	mt2 191	1 |- -. x e. x

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  elirr  8505  ruv  8507  dfac2  8953  nd1  9409  nd2  9410  nd3  9411  axunnd  9418  axregndlem1  9424  axregndlem2  9425  axregnd  9426  elpotr  31686  exnel  31708  distel  31709