Theorem zfregclOLD 8501

Description: Obsolete version of zfregcl 8499 as of 28-Apr-2021. (Contributed by NM, 5-Aug-1994.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfregclOLD.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
zfregclOLD	|- ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem zfregclOLD

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregclOLD.1	. 2 |- A e. _V
2		eleq2 2690	. . . 4 |- ( z = A -> ( x e. z <-> x e. A ) )
3	2	exbidv 1850	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x x e. z <-> E. x x e. A ) )
4		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
5	4	notbid 308	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. y e. z <-> -. y e. A ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. y e. x -. y e. z <-> A. y e. x -. y e. A ) )
7	6	rexeqbi1dv 3147	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. z A. y e. x -. y e. z <-> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) )
8	3, 7	imbi12d 334	. 2 |- ( z = A -> ( ( E. x x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z ) <-> ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A ) ) )
9		nfre1 3005	. . 3 |- F/ x E. x e. z A. y e. x -. y e. z
10		axreg2 8498	. . . 4 |- ( x e. z -> E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) )
11		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. x -. y e. z <-> A. y ( y e. x -> -. y e. z ) )
12	11	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. z A. y e. x -. y e. z <-> E. x e. z A. y ( y e. x -> -. y e. z ) )
13		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. z A. y ( y e. x -> -. y e. z ) <-> E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) )
14	12, 13	bitr2i 265	. . . 4 |- ( E. x ( x e. z /\ A. y ( y e. x -> -. y e. z ) ) <-> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
15	10, 14	sylib 208	. . 3 |- ( x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
16	9, 15	exlimi 2086	. 2 |- ( E. x x e. z -> E. x e. z A. y e. x -. y e. z )
17	1, 8, 16	vtocl 3259	1 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A A. y e. x -. y e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-ext 2602  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202

This theorem is referenced by:  zfregOLD  8502  zfreg2OLD  8503